『数学は世界を変えるあなたにとっての現代数学』：紙魚：So-netブログ

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『数学は世界を変えるあなたにとっての現代数学』　[☆] [編集]

・公式を操作する方法を身につければ、本来なら一生懸命考えないと解けないような問題をほとんど自動的に解くことができる。このように数学は、素手では歯が立たないようなことをするための道具なのだ。

・いまの世界の問題は、わたしたちが数学を知りすぎていることではなく、むしろまだ十分に知っていないことだ。心理学や社会科学など重要な分野には、強力な数学的方法がまだない。

・間違った考えは銃よりも危険だ！！

・すばらしい交響曲にはポップスのように特定の歌詞はなく、ある決まった瞬間の感情を表現する代わりに感情を抽象化しているため、もっといろいろな場面に当てはまる。

・すばらしい肖像画が写真より抽象的なのは、ある決まった瞬間の姿を表現しているのでなく、モデルの本当の人となりだと画家が感じたものを抽象化しているからだ。すばらしい肖像画は写真より幅広い場面に当てはまる。

・どんな思考体系でも一番初めは何も土台がないのだから、定義されていない用語と説明されていない前提から出発するしかない。

・絶えず変化しているこの世界では、物理学のほとんどの問題を解くには、小さな領域で何が起きているかを表す微分方程式を作りそこから「積分」によって、たとえば惑星の軌道全体を求める。

・数学を使わずに考えようとする人は、何もできない赤ん坊と同じだ。

・論理を使わずに手だけで取り組む「現実的」な人は、愚かかもしれない。

・一般化と抽象化(2つの強力な思考道具)はどんな思考でも重要だ。それらがなれば本当に考えることはできない。

・高校や大学で学ぶ代数学の大部分は紀元前3000年からニュートンの時代までに作られた。つまり、平均的な大学卒の人の数学の知識はおよそ300年前に知られていたところで止まっているのだ！

・新しい考えに触れれば、知的で一般的な人生観を古い考えからよりもたくさん得られる。

・幾何学では、図を根拠として使うことは絶対にない。幾何学は、基本的な公理から論理を使って定理を導く学問だ。

・習慣が侵されるたびに、それは破壊的な革命だと考える狭量さには注意すべきだ。

・「点」の代わりに「円」を選んで、大きさや中心の違ういくつもの円で満たされた空間を想像する。どれか1つの円を指定するには、まず中心を指定するために2つの数を使い、さらに中心は同じだが大きさの違ういくつもの円の中からその円を選ぶのに、3番目の数つまり半径を指定しないといけない。このように考えると、ふつうのユークリッド平面が3次元になるのだ。同じように、わたしたちの住んでいるふつうの「3次元」世界も点ではなく球を「要素」として使うと4次元になる。

・物理現象を表すための要素として「点」の代わりに「事象」を使うと都合がいいことが分かっている。それぞれの事象は4つの数。つまり、緯度、経度、高度および起こった時刻で特定できるので、わたしたちは4次元世界に住んでいるということもできる。